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第3問

ABCABC を三角形とする。頂点 AA から引いた中線および角の二等分線が辺 BCBC と交わる点をそれぞれ MM および NN とする。点 NN における NANA の垂線が直線 MAMA および BABA と交わる点をそれぞれ QQ および PP とし、点 PP における BABA の垂線が直線 ANAN の延長と交わる点を OO とする。このとき、QOQO が BCBC に垂直であることを証明せよ。
ステップ 3/3: OQとBCの傾きの積を計算して直交を示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

傾き kOQk_{OQ} の計算で nn が約分されて消えることに注目しよう。つまり QO⊥BCQO \perp BC という直交性は、BCBC との交点である場合に限らず、角の二等分線上の任意の点 NN に対して成り立つ。

kOQ=m(b−c)nb+c−0n−n(m2+1)=−b−c(b+c)m  ⟹  kOQ⋅kBC=−b−c(b+c)m⋅m(b+c)b−c=−1k_{OQ} = \frac{\frac{m(b-c)n}{b+c} - 0}{n - n(m^2+1)} = -\frac{b-c}{(b+c)m} \implies k_{OQ} \cdot k_{BC} = -\frac{b-c}{(b+c)m} \cdot \frac{m(b+c)}{b-c} = -1
詳しい解説

Q=(n,m(b−c)nb+c)Q = \left(n, \frac{m(b-c)n}{b+c}\right) と O=(n(m2+1),0)O = (n(m^2 + 1), 0) を用いると、直線 OQOQ の傾きは kOQ=m(b−c)nb+c−nm2=−b−c(b+c)mk_{OQ} = \frac{\frac{m(b-c)n}{b+c}}{-n m^2} = -\frac{b-c}{(b+c)m} となり、nn が完全に約分されて消える。これと辺 BCBC の傾き kBC=m(b+c)b−ck_{BC} = \frac{m(b+c)}{b-c} の積をとると kOQ⋅kBC=−1k_{OQ} \cdot k_{BC} = -1 となるため、QO⊥BCQO \perp BC が証明された。