MathLabs

第6問

平面上に nn 個の点を取り（nge3n\\ge3）、各二点を線分で結ぶ。最長線分の長さを dd とし、長さ dd の結線分を直径と呼ぶ。直径の本数が高々 nn であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 交差補題を証明する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最大長の弦は離れて置けない。交差する接続の一つがさらに長くなるからである。

PQ=RS=d,quadPQcapRS=varnothingLongrightarrowsome cross-distance is >d.PQ=RS=d,\\quad PQ\\cap RS=\\varnothing\\Longrightarrow\text{some cross-distance is }>d.
詳しい解説

直径 PQPQ と RSRS が離れていると仮定する。端点 QQ で QPQP と QRQR の角が 90∘90^\circ 以上なら余弦定理から PR>dPR>d となるので、その角は鋭角である。同様に四端点の角がすべて鋭角となるが、これは不可能である。よって任意の二直径は交わるか端点を共有する。