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第6問

一辺の長さが 100100 の正方形を SS とする。LL は SS 内にある自己交差しない単純閉折れ線で、線分 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n からなり、A0=AnA_0=A_n とする。SS の境界上の任意の点 PP が LL 上のある点から距離高々 1/21/2 にあると仮定する。LL 上に二点 X,YX,Y が存在し、その距離が高々 11 であり、XX と YY の間の LL の一方の部分の長さが少なくとも 198198 となることを証明せよ。
ステップ 1/5: 境界への接近を定義する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

折れ線は境界全体に半単位以内まで近づくので、角への接近順序が位相的情報を持つ。

Call P′ approached if some P∈L satisfies PP′≤12\text{Call }P'\text{ approached if some }P\in L\text{ satisfies }PP'\le\frac12
詳しい解説

境界上の点 P′P' が「近づかれた」とは、LL 上のある点がそれから距離 1/21/2 以内にあることをいう。仮定より、すべての境界上の点、したがって四つの頂点と境界上の各線分上の点が近づかれている。