13≡1(mod4)13\equiv1\pmod413≡1(mod4) より 13d−1≡d−1(mod4)13d-1\equiv d-1\pmod413d−1≡d−1(mod4) となる。平方数は法 444 で 000 か 111 しか取らないので、13d−113d-113d−1 が平方数になり得るのは d≡1d\equiv1d≡1 または 2(mod4)2\pmod42(mod4) の場合のみである。したがって d≡0d\equiv0d≡0 または 3(mod4)3\pmod43(mod4) のとき 13d−113d-113d−1 は平方数でなく、(a,b)=(13,d)(a,b)=(13,d)(a,b)=(13,d) が取れる。