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第1問

22、55、1313 のいずれとも異なる正の整数 dd を任意にとる。集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} の中から相異なる元 aa、bb を選んで、ab−1ab - 1 が平方数にならないようにできることを示せ。
ステップ 1/6: 三つの平方数を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

もしどの組も条件を満たさなければ、三つの数は同時に平方数となる。その場合 dd に対する偶奇性と整除性の制約が衝突する。

p2=2d−1,q2=5d−1,r2=13d−1p^2=2d-1,\quad q^2=5d-1,\quad r^2=13d-1
詳しい解説

整数 p,q,rp,q,r に対して p2=2d−1p^2=2d-1、q2=5d−1q^2=5d-1、r2=13d−1r^2=13d-1 が成り立つと仮定し、矛盾を導く。これにより三つのうち少なくとも一つは平方数になり得ないことが示される。