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第1問

22、55、1313 のいずれとも異なる正の整数 dd を任意にとる。集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} の中から相異なる元 aa、bb を選んで、ab−1ab - 1 が平方数にならないようにできることを示せ。
ステップ 4/6: 残る場合を法16でさらに細分
前のステップ次のステップ
d≡1(mod4) ⟹ d≡1,5,9,13(mod16)d\equiv1\pmod4\ \Longrightarrow\ d\equiv1,5,9,13\pmod{16}
詳しい解説

残っているのは d≡1(mod4)d\equiv1\pmod4 の場合で、法 1616 での剰余は 1,5,9,131,5,9,13 である。法 1616 の平方数は {0,1,4,9}\{0,1,4,9\} に属するので、この4つの部分場合で 13d−113d-1 と 5d−15d-1 を調べる。