第1問

2

、

5

、

13

のいずれとも異なる正の整数

d

を任意にとる。集合

\{2, 5, 13, d\}

の中から相異なる元

a

、

b

を選んで、

ab - 1

が平方数にならないようにできることを示せ。

ステップ 2/6:

p

は奇数、よって

d

の形は奇数に固定される

p=2k-1\ \Longrightarrow\ d=2k^2-2k+1

詳しい解説

$2d-1$ は奇数なので $p$ も奇数であり、 $p=2k-1$ とおける。 $p^2=2d-1$ に代入すると $d=2k^2-2k+1$ となり、これはすべての整数 $k$ に対して奇数である。