MathLabs

第1問

22、55、1313 のいずれとも異なる正の整数 dd を任意にとる。集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} の中から相異なる元 aa、bb を選んで、ab−1ab - 1 が平方数にならないようにできることを示せ。
ステップ 4/6: 二乗の差に結合する
r2−q2=8d ⟹ (m+n)(m−n)=2dr^2-q^2=8d\ \Longrightarrow\ (m+n)(m-n)=2d
詳しい解説

q=2n,r=2mq=2n,r=2m なので r2−q2=(13d−1)−(5d−1)=8dr^2-q^2=(13d-1)-(5d-1)=8d、すなわち 4m2−4n2=8d4m^2-4n^2=8d となり、m2−n2=(m+n)(m−n)=2dm^2-n^2=(m+n)(m-n)=2d が得られる。