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第1問

22、55、1313 のいずれとも異なる正の整数 dd を任意にとる。集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} の中から相異なる元 aa、bb を選んで、ab−1ab - 1 が平方数にならないようにできることを示せ。
ステップ 5/6: dd が偶数であることを導く
4∣(m+n)(m−n) ⟹ 2∣d4\mid(m+n)(m-n)\ \Longrightarrow\ 2\mid d
詳しい解説

m2−n2=2dm^2-n^2=2d は偶数なので mm と nn は同じ偶奇性を持ち、m−nm-n と m+nm+n はともに偶数となる。よって 4∣(m+n)(m−n)=2d4\mid(m+n)(m-n)=2d となり、dd は偶数でなければならない。