MathLabs

第3問

正五角形の各頂点に整数を割り当て、5数の総和を正とする。連続する3頂点の数が x,y,zx,y,z で y<0y<0 のとき、それらをそれぞれ x+y,−y,z+yx+y,-y,z+y に置き換える。負の数がある限りこの操作を繰り返す。この手続きは必ず有限回で終了するか。
ステップ 2/4: 非負整数ポテンシャルを定める
ざっくり言うと

このポテンシャルは二つ離れた頂点の差の二乗を測る。常に非負整数なので無限に減少し続けることはできない。

f(x1,…,x5)=∑i=15(xi−xi+2)2,x6=x1, x7=x2f(x_1,\ldots,x_5)=\sum_{i=1}^5(x_i-x_{i+2})^2,\quad x_6=x_1,\ x_7=x_2
詳しい解説

巡回添字を用いて f(x1,…,x5)=∑i=15(xi−xi+2)2f(x_1,\ldots,x_5)=\sum_{i=1}^5(x_i-x_{i+2})^2 と定める。明らかに f≥0f\ge0 で、値は整数であるため ff は非負整数である。