MathLabs

第3問

正五角形の各頂点に整数を割り当て、5数の総和を正とする。連続する3頂点の数が x,y,zx,y,z で y<0y<0 のとき、それらをそれぞれ x+y,−y,z+yx+y,-y,z+y に置き換える。負の数がある限りこの操作を繰り返す。この手続きは必ず有限回で終了するか。
ステップ 3/4: 一回の操作を計算する
ざっくり言うと

変わるのは局所的な三つだけだが、巡回的に展開すると全ての項が消え、総和の単純な倍だけが残る。

(x3,x4,x5)↦(x3+x4,−x4,x5+x4)(x_3,x_4,x_5)\mapsto(x_3+x_4,-x_4,x_5+x_4)
詳しい解説

中央の負の数を x4<0x_4<0 とすると操作は (x3,x4,x5)↦(x3+x4,−x4,x5+x4)(x_3,x_4,x_5)\mapsto(x_3+x_4,-x_4,x_5+x_4) である。十個の二乗を展開して相殺すると fnew−fold=2Sx4f_{\rm new}-f_{\rm old}=2Sx_4 を得る。