第3問

正五角形の各頂点に整数を割り当て、5数の総和を正とする。連続する3頂点の数が

x,y,z

で

y<0

のとき、それらをそれぞれ

x+y,-y,z+y

に置き換える。負の数がある限りこの操作を繰り返す。この手続きは必ず有限回で終了するか。

ステップ 2/4: 変化する和を取り出す

ざっくり言うと

操作する三つを $x,y,z$ とすると、前後のリストは中央の数を特定の形で含む和だけが異なる。

u=x+z+w,\quad S=u+y>0,\quad y<0

詳しい解説

残り4個の和を $u$ と書けば、不変な総和は $S=u+y>0$ である。 $y<0$ より $u>-y>0$ 。対応しない項は $|u|$ から $|u+2y|$ に変わる。