第3問

正五角形の各頂点に整数を割り当て、5数の総和を正とする。連続する3頂点の数が

x,y,z

で

y<0

のとき、それらをそれぞれ

x+y,-y,z+y

に置き換える。負の数がある限りこの操作を繰り返す。この手続きは必ず有限回で終了するか。

ステップ 3/4: 絶対値が減ることを示す

ざっくり言うと

正の総和により $u+2y$ は $-u$ と $u$ の間に厳密に入る。

-u<u+2y<u

詳しい解説

$u+2y<u$ は $y<0$ から従う。 $u+2y>-u$ は $u+y>0$ 、すなわち $S>0$ と同値である。したがって $|u+2y|<u=|u|$ であり、 $T$ は厳密に減少する。