MathLabs

第3問

m,n≥3m,n\ge3 を満たす正整数の組で、am+a−1an+a2−1\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} が整数となる正整数 aa が無限に存在するものをすべて求めよ。
ステップ 1/3: 無限個の値を整除性に変える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

大きな値では余りが分母より小さいため、無限回ゼロになる。

xn+x2−1∣xm+x−1x^n+x^2-1\mid x^m+x-1
詳しい解説

分子を分母多項式で割る。分母は首係数 なので、余りは零多項式であり、 を得る。