MathLabs

第5問

ABCDABCD を、BC=DABC = DA かつ BC∦DABC \nparallel DA を満たす固定された凸四角形とする。辺 BCBC、DADA 上にそれぞれ動点 EE、FF を、BE=DFBE = DF を満たすようにとる。直線 ACAC と BDBD の交点を PP、直線 BDBD と EFEF の交点を QQ、直線 EFEF と ACAC の交点を RR とする。EE、FF を動かしたときの三角形 PQRPQR の外接円が、PP 以外に共通の点を持つことを証明せよ。
ステップ 1/7: 候補点 MM を固定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ABCDABCD と PP に関するものはすべて E,FE,F を選ぶ前から固定されているので、それらだけから作られる点は自動的に E,FE,F に依存しない。

M=(△APD)∩(△BPC)∖{P}M=(\triangle APD)\cap(\triangle BPC)\setminus\{P\}
詳しい解説

三角形 APDAPD と BPCBPC の外接円の（PP 以外の）第二交点を MM とする——これは直線 AD,BC,AC,BDAD,BC,AC,BD から成る完全四辺形のミケル点である。A,B,C,D,PA,B,C,D,P は E,FE,F の選び方に依存しないので、MM も依存しない：ただ一つの固定点である。