第5問

n>1

枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ：任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような

n

に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。

ステップ 1/8: 有理数の整数乗は整数性を強制する

ざっくり言うと

正整数の有理根は整数である。

x^m=N,\ x\in\mathbb Q,\ N\in\mathbb Z_{>0}\Longrightarrow x\in\mathbb Z

詳しい解説

$x=u/v$ を既約分数で表す。 $u^m=Nv^m$ および $(u,v)=1$ から $v^m\mid u^m$ を得るので、 $v=1$ であり、 $x$ は整数である。