コンパスと定規による角の三等分問題

任意の角 $\theta$ が与えられたとき、理想的なコンパスと目盛りのない定規のみを用い、有限回の操作によって角 $\theta$ を大きさ $\theta/3$ の3つの等しい角に分ける2本の半直線を作図せよ。

1837年にピエール・ローラン・ヴァンツェルによって不可能性が証明された。ヴァンツェルは、単位線分からコンパスと定規によって実数 $\alpha$ が作図可能であるための必要十分条件は、$\alpha$ が $\mathbb{Q}$ の2次拡大の塔に含まれることであり、したがってその最小多項式の次数 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ が $2$ のべき乗でなければならないことを示した。$\theta = 60^\circ$ のとき、三倍角の公式 $\cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)$ に $\cos(60^\circ) = 1/2$ を代入すると、$x = 2\cos(20^\circ)$ は $x^3 - 3x - 1 = 0$ を満たす。この3次多項式は有理数解を持たないため $\mathbb{Q}$ 上既約であり、$[\mathbb{Q}(\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3 \neq 2^k$ となるから、$60^\circ$ は三等分できない。