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バーゼル問題

解決済み、1735年解析学
問題の内容

正の整数の平方の逆数の和 ∑n=1∞1n2=112+122+132+⋯\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots の正確な値を求めよ。この級数が収束することは知られていたが、その正確な閉じた形はほぼ1世紀もの間分からなかった。

オイラーは1735年にこの結果を初めて発表したが、それは sin⁡x\sin x の無限積と多項式をその根で因数分解する方法との大胆な類推に基づいており、当時は厳密に正当化されていなかった。完全に厳密な証明が得られたのは、ワイエルシュトラスの因数分解定理(1876年)が整関数を無限積として表すことを正当化した、何十年も後のことである。

解決者, 1735レオンハルト・オイラー

オイラーの方法は一般化できる。彼は閉じた形の公式 ζ(2n)=(−1)n+1B2n(2π)2n2(2n)!\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1} B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!}(すべての正の整数 nn に対して成り立つ)を発見した。ここで B2nB_{2n} はベルヌーイ数である(例えば ζ(4)=π4/90\zeta(4) = \pi^4/90)。奇数の値 ζ(3),ζ(5),…\zeta(3), \zeta(5), \ldots については同様の閉じた形は知られていない。ロジェ・アペリーは1978年に ζ(3)\zeta(3) が無理数であることを証明したが、π\pi を用いたその正確な値は今なお不明である。

参考文献

  1. Frits Beukers, Eugenio Calabi, Jan A. C. Kolk (1993). Sums of generalized harmonic series and volumes · DOI:10.1007/s12045-015-0241-0
  2. William Dunham (1999). Euler: The Master of Us All
  3. Martin Aigner, Günter M. Ziegler (2018). Proofs from THE BOOK