バーゼル問題

正の整数の平方の逆数の和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$ の正確な値を求めよ。この級数が収束することは知られていたが、その正確な閉じた形はほぼ1世紀もの間分からなかった。

オイラーは1735年にこの結果を初めて発表したが、それは $\sin x$ の無限積と多項式をその根で因数分解する方法との大胆な類推に基づいており、当時は厳密に正当化されていなかった。完全に厳密な証明が得られたのは、ワイエルシュトラスの因数分解定理(1876年)が整関数を無限積として表すことを正当化した、何十年も後のことである。