ビーベルバッハ予想

開単位円板 $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ 上の正則かつ単射な関数（単葉関数 / schlicht 関数）$f : \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ が $f(0) = 0$ および $f'(0) = 1$ と正規化され、テイラー展開 $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ を持つとする。このとき、すべての整数 $n \ge 2$ に対して係数は $|a_n| \le n$ を満たし、等号が成り立つのは $f$ がケーベ関数の回転 $K_\theta(z) = \frac{z}{(1 - e^{i\theta} z)^2} = \sum_{n=1}^\infty n e^{i(n-1)\theta} z^n$ であるときに限る。

1984年にルイ・ド・ブランジュによって解決された（1985年に Acta Mathematica に掲載）。ド・ブランジュは $\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k$ の対数係数 $\gamma_k$ に関するイサーク・ミリンの1971年の予想——すなわち $\sum_{k=1}^n (n+1-k) k (|\gamma_k|^2 - 1/k^2) \le 0$——を証明した。これはレベデフ・ミリンの指数化不等式によって奇単葉関数に関するM. S. ロバートソンの1936年の予想を含意し、したがってビーベルバッハ予想を含意する。ド・ブランジュはスリット写像に対するカール・レヴナーの1923年の微分方程式を用いてミリンの不等式を重み関数系 $\sigma_k(t)$ の単調性に帰着させ、その導関数が非正であることをリチャード・アスキーとジョージ・ギャスパーが1976年に証明した一般超幾何関数 ${}_3F_2$（ヤコビ多項式の和）の正値性不等式によって示した。