複素関数論

$f=u+iv$、$dz=dx+i\,dy$ と書くと、周回積分は2つの実線積分に分かれ、それぞれグリーンの定理により $\gamma$ が囲む領域上の二重積分として書き直せる。現れる2つの二重積分は、符号と $i$ の因子を除けば、ちょうど $\iint (v_x - u_y)\,dA$ と $\iint(u_x - v_y)\,dA$ であり、どちらもコーシー・リーマンの方程式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ によって0になる。

領域 $D \subseteq U$ を囲む閉周回路 $\gamma = \partial D$ に沿って $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ および $dz = dx + i\,dy$ と書く。積を展開すると、周回積分は実部と虚部の線積分に分離される：$\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u\,dx - v\,dy) + i \oint_\gamma (v\,dx + u\,dy)$。

$u$ と $v$ は $U$ 上で連続な偏導関数を持つため、グリーンの定理 $\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (Q_x - P_y)\,dx\,dy$ を実部と虚部にそれぞれ適用すると $\oint_\gamma f(z)\,dz = \iint_D (-v_x - u_y)\,dx\,dy + i \iint_D (u_x - v_y)\,dx\,dy$ が得られる。

$f$ は正則であるから、コーシー・リーマンの方程式 $u_x = v_y$ と $u_y = -v_x$ が $D$ のすべての点で成り立つ。したがって領域上で恒等的に $-v_x - u_y = 0$ かつ $u_x - v_y = 0$ となり、$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 + i\cdot 0 = 0$ が従う。

$g(z) = \dfrac{f(z)}{z-a}$ に対して、$\gamma$ と $a$ の周りの半径 $\varepsilon$ の小さな円との間の領域(ここでは $z=a$ が除かれているので $g$ は正則である)にコーシーの積分定理を適用すると、$g$ の2つの周回積分は一致しなければならない。$\varepsilon \to 0$ のとき、小さな円上の積分は $f(a)\cdot 2\pi i$ に近づく。これは $f$ が連続で、$a$ の周りの縮小する円上ではほぼ一定の値 $f(a)$ をとるからである。この1つの公式は、ある領域内部での正則関数の値が境界上の値によって完全に決まることを示している。

点 $a$ を $\gamma$ の内部に固定し、円 $C_\varepsilon = \{z : |z - a| = \varepsilon\}$ が周回路の内部に完全に含まれるよう十分小さい $\varepsilon > 0$ をとる。関数 $g(z) = \dfrac{f(z)}{z - a}$ は外側の周回路と小円の間の領域で正則であるから、コーシーの積分定理より $\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$ が成り立つ。

小円を $z = a + \varepsilon e^{i\theta}$（$\theta \in [0, 2\pi]$）とパラメータ表示すると $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ となり、$\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{1}{z - a}\,dz = \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i$ が得られる。分子を $f(z) = f(a) + (f(z) - f(a))$ と分解すれば $\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = 2\pi i\,f(a) + \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz$ となる。

残余項の積分を弧長で評価すると $\left|\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz\right| \le \dfrac{\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|}{\varepsilon}\cdot 2\pi\varepsilon = 2\pi \max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|$ となる。中心での連続性により $\varepsilon \to 0$ のとき $\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)| \to 0$ となるため、残余項は消えて $f(a) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$ が導かれる。

コーシーの積分公式は、正則関数の導関数を大きな円上での大きさによって評価する式を与える：$|f'(z_0)| \le \dfrac{M}{R}$、ここで $M$ は $z_0$ を中心とする半径 $R$ の円上での $|f|$ の上界である。$f$ が整関数で至るところ $M$ で有界ならば、この評価はどれほど大きな $R$ に対しても成り立つ。$R \to \infty$ とすると、すべての点 $z_0$ で $f'(z_0)=0$ とならざるを得ず、したがって $f$ は定数である。

$f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ を有界な整関数とし、定数 $M \ge 0$ が存在してすべての $z \in \mathbb{C}$ に対し $|f(z)| \le M$ が成り立つとする。任意の点 $z_0 \in \mathbb{C}$ と任意の半径 $R > 0$ を固定し、円 $C_R = \{z : |z - z_0| = R\}$ を考える。

1階導関数に対するコーシーの積分公式より $f'(z_0) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_R} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^2}\,dz$ が成り立つ。円の弧長は $2\pi R$ であり周回路上で $|z - z_0|^2 = R^2$ を満たすから、標準的な積分評価により $|f'(z_0)| \le \dfrac{1}{2\pi}\cdot \dfrac{M}{R^2}\cdot 2\pi R = \dfrac{M}{R}$ を得る。

関数は整関数であるためこの評価はすべての半径で成り立ち、$R \to \infty$ とすることで任意の点において $f'(z_0) = 0$ が導かれ、関数は定数となる。

$\gamma$ を各特異点 $z_j$ を囲む $k$ 個の小さな円に変形し、ペアで打ち消し合う細い回廊でつなぐ。$\gamma$ とこれらの円との間の(正則な)領域にコーシーの積分定理を適用すると、$\gamma$ 上の積分は小さな円上の積分の和に等しくなる。各小円上の積分は、$z_j$ におけるローラン級数の係数 $c_{-1}$——すなわち留数——のちょうど $2\pi i$ 倍を取り出す。なぜなら $\oint (z-z_j)^n\,dz = 0$ は $n=-1$（このときは $2\pi i$ に等しい）を除くすべてのべきに対して成り立つからである。

孤立特異点を、$\gamma$ の内部にある中心 $z_1, \dots, z_k$、半径 $\varepsilon_j > 0$ の互いに交わらない小さな正の向きの円 $C_1, \dots, C_k$ で囲む。外側の周回路とこれらの小円の間の多重連結領域で関数は正則であるから、コーシーの積分定理により $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{j=1}^k \oint_{C_j} f(z)\,dz$ が成り立つ。

$z_j$ の穴あき近傍で関数をローラン級数 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n}(z - z_j)^n$ に展開すると、これは $C_j$ 上で一様収束する。小円上で項別積分を行うと $\oint_{C_j} f(z)\,dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n} \oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz$ となる。

パラメータ表示 $z = z_j + \varepsilon_j e^{i\theta}$ を用いて直接計算すると、$n \ne -1$ のすべての整数に対して $\oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz = 0$ であり、また $\oint_{C_j} (z - z_j)^{-1}\,dz = 2\pi i$ である。ゆえに各円上で留数の項のみが残り $\oint_{C_j} f(z)\,dz = 2\pi i\,c_{j,-1} = 2\pi i \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$ となり、すべての円について和をとれば $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^k \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$ が得られる。