立方体倍積問題

一辺の長さ $a$ の立方体が与えられたとき、理想的なコンパスと目盛りのない定規のみを用い、有限回の操作によって体積が元の立方体の2倍（$x^3 = 2a^3$）となる第2の立方体の一辺の長さ $x = \sqrt[3]{2}\,a$ を作図せよ。

1837年にピエール・ローラン・ヴァンツェルによって不可能性が証明された。$a = 1$ とおくと、立方体の倍積には多項式 $x^3 - 2 = 0$ の実根 $x = \sqrt[3]{2}$ の作図が必要となる。素数 $p = 2$ に対するアイゼンシュタインの既約判定法（または有理根の検査）により $x^3 - 2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、体拡大 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ の次数は $3$ である。ヴァンツェルは、目盛りのない定規とコンパスで作図可能な任意の長さは次数 $2^k$ の $\mathbb{Q}$ の反復2次拡大に含まれることを証明したが、$3$ は $2^k$ を割り切らないため $\sqrt[3]{2}$ は作図不可能である。