ケルヴェア不変量1の問題

滑らかな閉安定枠付き多様体 $M^n$ であって、その安定枠から誘導される中間次元ホモロジー $H_{2k+1}(M^n; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 上の交差形式の二次細分のアルフ不変量として定義されるケルヴェア不変量 $\Phi(M^n) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が $1$ となるものが存在するような次元 $n = 4k + 2$ をすべて決定せよ。

1969年、ウィリアム・ブラウダーは、ケルヴェア不変量 $1$ を持つ滑らかな閉枠付き多様体は次元 $n = 2^{j+1} - 2$ においてのみ存在しうること、またそれは $\bmod\,2$ アダムズスペクトル系列の $E_2$ 項の類 $h_j^2$ が永久サイクルとして生き残り球面の安定ホモトピー群 $\pi_{2^{j+1}-2}^S$ の元 $\theta_j$ を表す場合に限ることを証明した。次元 $2, 6, 14, 30$ および $62$（$1 \le j \le 5$）における構成は（マイケル・バラット、ジョン・ジョーンズ、マーク・マホウォルドらの研究によって）1984年までに完了した。2009年（2016年に Annals of Mathematics に掲載）、マイケル・A・ヒル、マイケル・J・ホプキンス、ダグラス・C・ラヴェネルは同変安定ホモトピー論と $C_8$ スライススペクトル系列を用いて、すべての $j \ge 7$（次元 $254$ 以上）に対して $\theta_j$ が存在しないことを証明し、次元 $126$（$j = 6$）のみが未解決として残された。2024年12月、林偉南（Weinan Lin）、王国禎（Guozhen Wang）、徐宙利（Zhouli Xu）はプレプリント（`arXiv:2412.10879`、未査読）を公開し、計算機援用によるアダムズスペクトル系列の計算で $h_6^2$ が永久サイクルであることを示して次元 $126$ における存在を確立した。