ポアンカレ予想

単連結な閉 $3$ 次元多様体はすべて $3$ 次元球面 $S^3$ に同相である。言い換えれば、$M$ が境界を持たないコンパクトな $3$ 次元位相多様体であり、その基本群 $\pi_1(M)$ が自明であるならば、$M \cong S^3$ が成り立つ。

2002年11月から2003年7月にかけて、グリゴリー・ペレルマンはarXivに3本の簡潔なプレプリント（`math/0211159`、`math/0303109`、`math/0307245`）を投稿し、単調なエントロピー汎関数、局所非崩壊定理、首状の特異点を越える制御された手術手続き、および非球面的素因子を持たない多様体に対する有限消滅時間を導入して、リチャード・ハミルトンのリッチフロー計画を完成させた。これにより閉 $3$ 次元多様体に対するウィリアム・サーストンの幾何化予想が完全に証明され、特別な場合としてポアンカレ予想が従った。3つの独立した研究チーム（ブルース・クライナーとジョン・ロット、ジョン・モーガンと田剛、曹懐東と朱熹平）が詳細な解説書を執筆して証明の完全性と正しさを確認した後、ペレルマンは2006年8月にフィールズ賞、2010年3月に賞金100万米ドルのクレイ・ミレニアム賞を授与されたが、いずれの栄誉も辞退し、ミレニアム賞については自身の貢献はハミルトンの貢献に勝るものではないと述べた。