五次方程式の非可解性

5次（あるいはそれ以上の次数）の多項式方程式については、その係数から加減乗除と $n$ 乗根（べき根）だけを用いて根を表す一般公式は存在しない。これは2次、3次、4次に対しては公式が存在するのと対照的である。

パオロ・ルフィニは1799年（1813年に拡張）、一般の五次方程式にはべき根による公式が存在しないという証明を発表したが、その論証には重大な欠落があった。完全かつ厳密な最初の証明——アーベル・ルフィニの定理——はニールス・ヘンリク・アーベルによるもので、彼は1824年に自費出版し、1826年にクレレ誌でより完全な版を発表した。その数年後、エヴァリスト・ガロアはさらに踏み込み、すべての多項式方程式に対してその根の置換からなる群（ガロア群）を対応させ、その方程式がべき根で解けるのは、まさにその群が可解群であるときに限ることを証明した。これにより、なぜ単一の公式がすべての五次方程式に通用しないのかだけでなく、任意の次数の個々の方程式がべき根で解けるかどうかを正確に説明できるようになった。