円積問題

コンパスと目盛りのない定規だけを用いて、有限回の操作で、与えられた円と同じ面積を持つ正方形を作図せよ。

半径1の円を、コンパスと定規で正方形にするには、長さ $\sqrt{\pi}$ の線分を作図できなければならない。ピエール・ヴァンツェルは1837年、この方法で作図できる長さはすべて、平方根の繰り返しで得られる代数的数——とくに、その代数的次数が2のべき乗であることを示していた。フェルディナント・フォン・リンデマンは1882年、$\pi$ 自身が超越数（有理数係数のいかなる非零多項式の根でもない）であることを、シャルル・エルミートが1873年に $e$ の超越性を証明した手法を応用して証明し、この問題に決着をつけた。$\pi$ が超越数である以上 $\sqrt{\pi}$ も超越数であり、コンパスと定規による作図では決して得られない。