解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

この古典的問題は少なくとも紀元前5世紀から証言されており(アナクサゴラスは獄中でこれに取り組んだと伝えられる)、与えられた円と同じ面積の正方形を定規とコンパスで作図することを求める。半径を $1$ に正規化すると円の面積は $\pi$ なので、求める正方形の辺 $s$ は $s^2 = \pi$、すなわち $s = \sqrt{\pi}$ を満たす。幾何学的課題はこうして、単位線分から長さ $\sqrt{\pi}$ の線分を一つ作ることに帰着する。

ヴァンツェルの1837年の定理は「作れる線分」を代数に変換する。作図可能な長さはすべて $\mathbb{Q}$ の二次拡大の塔の頂点に位置するので、それは $\mathbb{Q}$ 上代数的 — ある非零有理多項式の根 — であり、その次数は $2$ の冪である。ゆえに円積問題が可能なのは $\sqrt{\pi}$ が代数的なときに限る。代数数全体は多項式演算に閉じた体をなすので、$\sqrt{\pi}$ が代数的なのはちょうどその平方 $\pi$ が代数的なときである。$\alpha$ が $P(x) = 0$ を満たすなら、$\mathbb{Q}(\alpha^2) \subseteq \mathbb{Q}(\alpha)$ が有限拡大なので $\alpha^2$ は代数的であり、逆に $\pi$ が $Q(x)=0$ を満たすなら $\sqrt{\pi}$ は $Q(x^2)=0$ を満たす。

こうしてすべては一つの実数に関する問いに帰着する。$\pi$ は代数的か、それとも超越的 — 有理係数の多項式方程式をまったく満たさない — か?レジャンドルは1790年代に $\pi^2$ の無理性を予想し、ランベルトは1761年に $\pi$ が無理数であることを証明したが、超越性ははるかに強い。あらゆる次数の多項式を同時に排除しなければならないのである。フェルディナント・フォン・リンデマンは1882年、九年前にシャルル・エルミートが $e$ に用いた方法を拡張してこれを決着させた。