定理証明済み

相加相乗平均の不等式

内容

非負実数 $a_1,\dots,a_n$ に対して $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ が成り立ち、等号は $a_1=a_2=\cdots=a_n$ のときに限り成立する。

なぜ正しいのか?

周の長さが一定の長方形の中で、面積が最大になるのは正方形である——辺の長さを不均等に広げると、和(周長)は変わらないまま積だけが小さくなる。AM–GM 不等式はこの現象を $n$ 次元に一般化したものである:和が一定のとき、数の積が最大になるのはすべてが等しいときであり、それらの間に不均衡があれば積は必ず小さくなる。

証明の概略

コーシーの前進後退帰納法は、まず二変数の場合 $\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ ( $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0$ と同値)を繰り返し適用して $n=2^k$ の場合を示し、次に $2^k$ 変数の不等式を、 $n$ 個の数に自分たちの平均のコピーを付け加えたものへ適用することで $n=2^k$ からより小さいすべての $n$ へと降りていく。

証明者

1821年に証明オーギュスタン=ルイ・コーシー

この定理を使うトピック

不等式

参考文献

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities