定理証明済み

コーシー・シュワルツの不等式

内容

実(または複素)ベクトル $u=(u_1,\dots,u_n)$ と $v=(v_1,\dots,v_n)$ に対して $\left|\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}\right|^2 \le \left(\sum_{i=1}^n |u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n |v_i|^2\right)$ が成り立ち、等号は $u$ と $v$ が線形従属のときに限り成立する。

なぜ正しいのか?

この不等式は角度についての主張を変装させたものである: $\sum u_iv_i$ は内積 $\lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos\theta$ であり、 $\cos\theta$ の絶対値は決して $1$ を超えない。つまりこの不等式は、あるベクトルを別のベクトルに射影しても、ベクトル自身が許す以上の長さにはならないことを述べているに過ぎない——射影が最大になるのは、ベクトルが同じ(または反対の)方向を向いているときである。

証明の概略

実ベクトルに対しては、二次式 $f(t)=\sum_i (tu_i - v_i)^2 = t^2\sum u_i^2 - 2t\sum u_iv_i + \sum v_i^2 \ge 0$ をすべての $t \in \mathbb{R}$ について考えると、その判別式は $\le 0$ でなければならず、整理すると直ちに不等式が得られる。一般に（実および複素ベクトルの双方で）、ラグランジュの恒等式 $\left(\sum_i |u_i|^2\right)\left(\sum_i |v_i|^2\right) - \left|\sum_i u_i\overline{v_i}\right|^2 = \sum_{i<j} |u_iv_j - u_jv_i|^2 \ge 0$ から不等式が直ちに従い、さらに等号成立はすべての $i,j$ で $u_iv_j = u_jv_i$ 、すなわち $u$ と $v$ が線形従属であるときに限ることが分かる。

証明者

1821年に証明オーギュスタン=ルイ・コーシー

この定理を使うトピック

不等式

参考文献

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities