ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

数列が $[A,B]$ に含まれるとする。$[A,B]$ を二等分する；少なくとも一方の半分は数列の項を無限個含むので、その半分を残す。これを繰り返し、各段階で無限個の項を含む半分を残すことで、長さが $0$ に縮む区間の入れ子列が得られる。完備性により、この入れ子区間は1点 $L$ に収縮する。各段階の区間から数列の項を1つずつ選ぶ（添字を狭義単調に増やすことは、各区間が依然として無限個の項を含むため常に可能）と、$L$ に収束する部分列が得られる。