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定理証明済み

最大値・最小値の定理

内容

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} が有界閉区間 [a,b][a,b] 上で連続ならば、ff は [a,b][a,b] 上で最大値と最小値をとる：すべての x∈[a,b]x\in[a,b] について f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) を満たす x1,x2∈[a,b]x_1,x_2\in[a,b] が存在する。

なぜ正しいのか?

有限な閉区間上でペンを離さずに描いた連続なグラフは、実際に最も高い点と実際に最も低い点に到達しなければならない——f(x)=1/xf(x)=1/x が開いた端点に近づくにつれてある値に近づくが決して到達しないのとは異なり、単に高さに近づくだけでそこに到達しないということはあり得ない。

証明の概略

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と連続性により、f([a,b])f([a,b]) は有界である：さもなければ ∣f(xn)∣→∞|f(x_n)|\to\infty となる数列 xnx_n が収束部分列 xnk→x∗∈[a,b]x_{n_k}\to x^*\in[a,b] を持ち、連続性により f(xnk)→f(x∗)f(x_{n_k})\to f(x^*)（有限値）となって ∣f(xn)∣→∞|f(x_n)|\to\infty に矛盾する。M=sup⁡f([a,b])M=\sup f([a,b])（有界性より有限）とおき、f(xn)→Mf(x_n)\to M となる xnx_n をとると、その収束部分列 xnk→x2x_{n_k}\to x_2 に対し連続性より f(x2)=Mf(x_2)=M となり、上限が達成される。最小値についても −f-f に同じ議論を適用すれば得られる。

この定理を使うトピック

連続関数

関連する定理

中間値の定理ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis
  2. David M. Bressoud (2007). A Radical Approach to Real Analysis