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定理証明済み

中間値の定理

内容

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} が連続で、y0y_0 が f(a)f(a) と f(b)f(b) の間の値であるとき、f(c)=y0f(c)=y_0 を満たす c∈[a,b]c\in[a,b] が存在する。

なぜ正しいのか?

海面より下から始まり海面より上で終わる連続な道は、必ずどこかの瞬間に海面をちょうど通過する。ペンを紙から離さずに描いたグラフは、ある高さを飛び越えて、その高さを通らずに済ますことはできない。

証明の概略

一般性を失わず f(a)≤y0≤f(b)f(a)\le y_0\le f(b) とする。c=sup⁡{x∈[a,b]:f(x)≤y0}c=\sup\{x\in[a,b]: f(x)\le y_0\} とおく。この集合は空でなく（aa を含む）有界なので、R\mathbb{R} の完備性により cc が存在する。cc における ff の連続性から f(c)≤y0f(c)\le y_0（f≤y0f\le y_0 を満たす点列の極限として）かつ f(c)≥y0f(c)\ge y_0（そうでなければ cc のすぐ右の点もなお f≤y0f\le y_0 を満たし、cc が上限であることに矛盾する）となり、したがって f(c)=y0f(c)=y_0 である。

証明者

1821年に証明オーギュスタン=ルイ・コーシー

この定理を使うトピック

連続関数

関連する定理

最大値・最小値の定理ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Augustin-Louis Cauchy (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique
  2. David M. Bressoud (2007). A Radical Approach to Real Analysis