中心極限定理

$Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$ と置くと、$\mathbb{E}[Y_i] = 0$、$\operatorname{Var}(Y_i) = 1$、$Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i$ となる。$\varphi_Y(t) = \mathbb{E}[e^{itY_1}]$ を $Y_1$ の特性関数とする。$\mathbb{E}[Y_1^2] = 1 < \infty$ より、$t = 0$ の周りでの2次のテイラー展開から $\varphi_Y(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$（$t \to 0$ のとき）が得られる。独立性により、$Z_n$ の特性関数は $\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_Y\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \to e^{-t^2/2}$（$n \to \infty$ のとき）と各 $t \in \mathbb{R}$ について収束する。$e^{-t^2/2}$ は $\mathcal{N}(0,1)$ の特性関数であるから、レヴィの連続性定理により $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$ が従う。