弱大数の法則

分散 $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1)$ が有限のとき、線形性と独立性より $\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu$ および $\operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$ となる。チェビシェフの不等式を適用すると $\mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\operatorname{Var}(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$（$n \to \infty$ のとき）が得られる。$\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ のみを仮定する場合（ヒンチンの定理）は、$Y_{i} = X_i \mathbf{1}_{\{|X_i| \le n\}}$ と置いて水準 $n$ で打ち切り、$\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ を用いて $\mathbb{P}(\exists i \le n : X_i \ne Y_i) \le n\mathbb{P}(|X_1| > n) \to 0$ を示した上で、打ち切った平均にチェビシェフの不等式を適用する。