ウィグナーの半円則

モーメント法により、トレースの期待モーメント $\int x^k\,d\mu_n(x) = \frac{1}{n}\operatorname{Tr}\left(\left(\frac{W_n}{\sqrt{n}}\right)^k\right) = n^{-1 - k/2} \sum_{i_1, \dots, i_k = 1}^n X_{i_1 i_2} X_{i_2 i_3} \cdots X_{i_k i_1}$ を計算する。各項は $\{1, \dots, n\}$ 上の長さ $k$ の閉じた歩道に対応する。$\mathbb{E}[X_{ij}] = 0$ より、1度しか通らない辺を含む歩道の期待値は $0$ になる。奇数の $k$ では、$n \to \infty$ の極限ですべての主要項が消える。偶数の $k = 2m$ では、$n^{-1-m}$ の正規化のもとで生き残る歩道は、$m + 1$ 個の頂点をもつ木の上で $m$ 本の各辺をちょうど2回ずつ通る歩道のみであり、そのような標準的歩道の総数はカタラン数 $C_m = \frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$ に等しい。$\int_{-2}^2 x^{2m} \rho_{\mathrm{sc}}(x)\,dx = C_m$ であり、$\rho_{\mathrm{sc}}$ はコンパクト台をもつため、モーメントの収束から $\rho_{\mathrm{sc}}$ への弱収束が一意に定まる。