MathLabs
定理証明済み

ストークスの定理

内容

古典的なベクトル解析において、S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 を正の向き付けられた境界曲線 ∂S\partial S と単位法線ベクトル n\mathbf{n} を持つ向き付けられた区分的に滑らかな曲面とし、F\mathbf{F} を SS の近傍で連続微分可能なベクトル場とする。このとき ∬S(∇×F)⋅n dS=∮∂SF⋅dr\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} が成り立つ。微分形式による一般の定式化では、境界を持つ任意の向き付けられた nn 次元滑らかな多様体 MM と、MM 上でコンパクト台を持つ任意の滑らかな (n−1)(n-1) 形式 ω\omega に対して、∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega が成り立つ。

なぜ正しいのか?

曲面 SS を、すべて同じ反時計回りに回る小さな向き付けられたループの細かい網目で敷き詰めることを想像しよう。各点での回転 (∇×F)⋅n(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} は、1つの小さなタイル周りの F\mathbf{F} の微視的な循環を測っている。すべてのタイルの循環を足し合わせると、内部のすべての辺は隣り合う2つのタイルによって互いに逆向きにたどられるため、内部からの寄与はすべて対になって打ち消し合う。共有されない境界 ∂S\partial S に沿う外側の辺だけが生き残り、巨視的な循環 ∮∂SF⋅dr\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} となる。∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega として見れば、微分形式の外微分を積分することと領域の境界をとることが双対であることを表している。

証明の概略

MM の向き付けられた座標近傍系に従属する滑らかな1の分割を用いて ω=∑kρkω\omega = \sum_k \rho_k \omega と分解すれば、ω\omega のコンパクト台が Rn\mathbb{R}^n または上半空間 Hn={x∈Rn:xn≥0}\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \ge 0\} をモデルとする単一の座標近傍内に含まれる場合に ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega を示せば十分である。ω=∑i=1nfi(x) dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn\omega = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)\,dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge dx_n と書けば、その外微分は dω=(∑i=1n(−1)i−1∂fi∂xi)dx1∧⋯∧dxnd\omega = \left(\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\right) dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n となる。フビニの定理と1変数の微積分学の基本定理を各座標 xix_i に沿って適用すると、i<ni < n の項は fif_i がコンパクト台を持つためゼロになり、Hn\mathbb{H}^n 上での i=ni = n の項は境界 xn=0x_n = 0 での評価によって誘導された向きを持つ ∫∂Hnω\int_{\partial \mathbb{H}^n} \omega とちょうど一致する。

この定理を使うトピック

ベクトル解析滑らかな多様体微分幾何学

関連する定理

発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）微分積分学の基本定理コーシーの積分定理ガウス・ボネの定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Michael Spivak (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus
  2. Victor J. Katz (1979). The History of Stokes' Theorem · DOI:10.1080/0025570X.1979.11976770