連続関数

$f$ を、テレポートなしに町 $a$（高度 $f(a)$）から町 $b$（高度 $f(b)$）まで連続的に歩くときの標高の記録だと考えよう。2つの町の標高の間にある高さを飛び越えることはできない——ある瞬間には必ずすべての中間の高さを通過したはずである。不連続な関数はある値を飛び越えることができる（跳躍不連続を思い浮かべよ）。これこそ連続性が本質的な仮定である理由である。

一般性を失うことなく、一般の場合 $f(a) < k < f(b)$（$f(a) > k > f(b)$ の場合は対称的）を考え、$g(x) = f(x) - k$ とおくと、$g$ は連続で $g(a) < 0 < g(b)$ であり、$g(c)=0$ となる $c$ を見つければよい。$a_0=a$、$b_0=b$ とする。

$n=0,1,2,\dots$ について次の二分ステップを繰り返す：$[a_n,b_n]$ の中点 $m = \dfrac{a+b}{2}$ を計算する。$g(m)=0$ なら停止——$c=m$ が見つかる。そうでなければ $g(m)$ は確定した符号を持つ。$g(a_n)g(m)<0$ なら $[a_{n+1},b_{n+1}] = [a_n,m]$、$g(m)g(b_n)<0$ なら $[a_{n+1},b_{n+1}]=[m,b_n]$ として、$[a_n,b_n]$ の両端が異符号である方の半分を残す。いずれの場合も $g(a_{n+1})$ と $g(b_{n+1})$ は異符号のままであり、すなわち $f(a_n)\cdot f(b_n) \le 0$（ここでは $a_n,b_n$ は $g$ に対するもの）、区間の長さは半分になる：$b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n}$。

数列 $(a_n)$ は増加で $b$ を上界とし、$(b_n)$ は減少で $a$ を下界とするので、両方とも収束する；$b_n-a_n\to 0$ であるから同じ極限に収束し、$a_n \to c,\quad b_n \to c$、$c\in[a,b]$ である。

$g$ は連続であるから $g(a_n)\to g(c)$、$g(b_n)\to g(c)$ となる。各段階で $g(a_n)$ と $g(b_n)$ は異符号（またはどちらかがちょうど $0$）であるから、その積は任意の $n$ について $g(a_n)g(b_n)\le 0$ を満たす；両辺の極限をとると $g(c)^2\le 0$、すなわち $f(c)^2 \le 0 \ \Rightarrow\ f(c) = 0$（$g$ に適用）となる。したがって $f(c) = g(c)+k = k$ であり、二分法が端点にちょうど乗らずに少なくとも1ステップ進めば $a_n<c<b_n$ が真に成り立つので $c\in(a,b)$ である（途中で $m$ にちょうど乗った場合は、その $m$ こそが求める $c$ である）。

閉区間上の連続関数は無限大へ「逃げる」ことができず（区間は有界かつ閉じているので逃げ場がない）、また最高値に限りなく近づきながら決して到達しないということもできない——$(0,1)$ のような開区間では $f(x)=x$ はいくらでも $1$ に近づけるが決して到達しない。しかし $[0,1]$ のように端点 $x=1$ を含めると、その抜け道は塞がれる。区間が有界であることと閉じている（端点を含む）ことの両方が本質的である。

**ステップ1 — $f$ は $[a,b]$ 上で上に有界。** そうでないと仮定する：任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $f(x_n) > n$ を満たす $x_n\in[a,b]$ が存在する。数列 $(x_n)$ は有界区間 $[a,b]$ 内にあるので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により部分列 $x_{n_k}\to c\in[a,b]$ が存在する。$f$ の連続性より $f(x_{n_k})\to f(c)$ となり、これは単一の有限な数であるが、$f(x_{n_k}) > n_k \to \infty$ と矛盾する。よって $f$ は上に有界である；対称的な議論（$-f$ に適用）により $f$ は下にも有界である。

ステップ2 — 上限が達成される。 ステップ1より $M=\sup_{[a,b]} f$ は有限な数である。上限の定義により、任意の $n$ に対して $M-\tfrac1n < f(y_n) \le M$ を満たす $y_n\in[a,b]$ が存在する。再びボルツァーノ・ワイエルシュトラスより $(y_n)$ は部分列 $y_{n_k}\to d\in[a,b]$ をもつ。$k\to\infty$ のとき $M-\tfrac{1}{n_k} < f(y_{n_k}) \le M$ を挟み撃ちにすると $f(y_{n_k})\to M$ となるが、連続性からも $f(y_{n_k})\to f(d)$ であるから $f(d)=M$ である。よって最大値 $M$ は $x=d$ で達成される。

ステップ3 — 最小値が達成される。 ステップ1–2を $-f$（同じく $[a,b]$ 上で連続）に適用すると、$-f$ はある $c\in[a,b]$ で最大値をとり、これは $f$ が同じ点 $c$ で最小値をとることを意味する。これで求める $c$ と $d$ の両方が得られる。