定理証明済み

代数学の基本定理

内容

複素数を係数とする定数でない一変数多項式は、少なくとも一つの複素数根をもつ。すなわち、次数 $n \ge 1$ の多項式は重複度を込めてちょうど $n$ 個の複素数根をもつ。

なぜ正しいのか?

$x^2+1$ のような実係数多項式は x 軸と交わらず、根がないように見える。しかし係数と根を実数直線だけでなく複素平面に広げると、どんなに複雑な多項式でも必ずどこかでゼロになる。虚数方向を加えることで、実数が残していた隙間が埋まるのである。

証明の概略

標準的な証明(ダランベール=アルガン / ガウス)はリウヴィルの定理を用いる:多項式 $p(z)$ に根がなければ $1/p(z)$ は有界な整関数となり、リウヴィルの定理より定数となるが、これは $p$ が定数でないことと矛盾する。より初等的な方法では、 $|z|\to\infty$ のとき $|p(z)|\to\infty$ となることから $|p(z)|$ が $\mathbb{C}$ 上で大域的最小値をとることを示し、その最小値が $0$ でなければ適当な摂動で $|p|$ をさらに小さくできることを示す。

証明者

1799年に証明カール・フリードリヒ・ガウス

この定理を使うトピック

複素数

参考文献

Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger (1997). The Fundamental Theorem of Algebra