アーベル・ルフィニの定理

内容

係数に対する加減乗除と根号(累乗根)のみを用いて、次数 $5$ 以上のすべての多項式方程式の根を表す一般公式は存在しない。

なぜ正しいのか?

次数 $2,3,4$ の方程式は、算術演算と根号による決まった手順で必ず解くことができる——二次方程式の公式とその三次・四次のいとこたちである。アーベルとルフィニは、次数 $5$ からこの公式による方法が通用しなくなることを示した:根の置換の仕方を支配する対称性の群が複雑になりすぎ(群論的な意味でもはや可解ではなくなり)、どのような根号の積み重ねでもそれを解きほぐすことができないのである。個々の五次方程式はそれでも根号で解けることがあるが、不可能なのは一般公式そのものである。

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