オイラーの公式

内容

任意の実数 $\theta$ に対して $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

$\cos\theta+i\sin\theta$ を $\theta$ で微分すると $-\sin\theta+i\cos\theta = i(\cos\theta+i\sin\theta)$ となる。つまりこの関数は、常にその時点の位置から $90°$ 回転した方向、すなわち自分自身に $i$ を掛けた方向へ増加していく——これはまさに $e^{i\theta}$ の振る舞いである。両者は角速度 $1$ で同じ単位円を描くため、同一の関数となる。$\theta=\pi$ とすればオイラーの等式 $e^{i\pi}+1=0$ が得られる。

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