複素数

極形式で表された2つの数を掛けると、絶対値どうしが掛け合わされ、偏角どうしが足し合わされる：$r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\cdot r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big)$（余弦・正弦の加法定理による）。同じ数を $n$ 個掛けると、その偏角が $n$ 回足し合わされる。

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta$ を $n \ge 0$ についての数学的帰納法で証明する。一般の絶対値 $r = 1$ の場合と負の指数 $n = -m$ はその後すぐに従う。

**基底（$n = 0$）。** $(\cos\theta+i\sin\theta)^0 = 1 = \cos 0 + i\sin 0$。✓

帰納段階。 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ を仮定する。両辺に $(\cos\theta+i\sin\theta)$ を掛けると $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1} = (\cos n\theta + i\sin n\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$。展開して加法定理 $\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$ および $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ を使うと、実部は $\cos n\theta\cos\theta - \sin n\theta\sin\theta = \cos(n+1)\theta$、虚部は $\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta = \sin(n+1)\theta$ となり、$n+1$ の場合の公式が示される。帰納法が完成する。

一般の絶対値と負の指数への拡張。 絶対値 $r = 1$ の場合：$(r(\cos\theta+i\sin\theta))^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。$n = -m$（$m > 0$）の場合：$|\cos m\theta + i\sin m\theta| = 1$ なので逆数は $\overline{\cos m\theta + i\sin m\theta} = \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)$、よって $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-m} = \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)$。

$e^x$、$\cos x$、$\sin x$ のテイラー級数は $x$ を $i\theta$ に置き換えても意味を持つ：$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(i\theta)^n}{n!}$。この和を $n$ が偶数のものと奇数のものに分け、$i^2=-1$ を使って各 $i$ のべきを整理すると、実部としてちょうど $\cos\theta = \sum \dfrac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}$、虚部として $\sin\theta = \sum \dfrac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$ が得られる。この議論——複素数の無限級数を有限和のように扱うこと——を完全に厳密にするのは複素関数論の仕事である。

ステップ 1 — テイラー級数を確認する。 すべての実数 $x$ に対して：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$、$\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$、$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$。3つの級数はすべての実数（および複素数）の引数に対して絶対収束する。

**ステップ 2 — $x = i\theta$ を指数級数に代入する。** 絶対収束により項ごとの代入が正当化される：$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(i\theta)^n}{n!} = 1 + i\theta + \dfrac{(i\theta)^2}{2!} + \dfrac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots$。

**ステップ 3 — $i^2 = -1$ で整理し、実部・虚部を分離する。** $i$ のべきは周期 4 で循環する：$i^0=1,\,i^1=i,\,i^2=-1,\,i^3=-i,\,i^4=1,\ldots$ 偶数インデックス項（実部）と奇数インデックス項（虚部）を分けると：$e^{i\theta} = \left(1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) = \cos\theta + i\sin\theta$。この操作を完全に厳密化するには複素指数級数の絶対収束が必要で、$\sum |a_n|$ が収束することから成立する。

$\mathbb{R}$ 上では、$x^2+1$ のような多項式はグラフが $x$ 軸を横切らないために根を持たないことがある。複素数はこの障害を取り除く：定数でないすべての多項式に対して $\mathbb{C}$ の中に根が存在し、例外は一切残らない。根 $z_1$ が1つ見つかれば、$p(z)$ を $(z-z_1)$ で割ることで次数 $n-1$ の多項式が得られ、同じ事実を再び適用できる。

純粋に代数的な証明は存在しない：知られているすべての証明は解析学かトポロジーの道具を借りている。最も短いものは複素関数論のリウヴィルの定理を用いる——完全な議論は「複素数の関数」を参照。