ヘロンの公式

面積公式 $S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ と余弦定理 $\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ を組み合わせる。両辺を二乗して $\sin^2\gamma = (1 - \cos\gamma)(1 + \cos\gamma)$ を用いると、$16S^2 = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (c^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - c^2)$ となる。二つの二乗の差を因数分解すると $16S^2 = (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = 16s(s - a)(s - b)(s - c)$ が得られ、平方根をとれば $S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ が従う。