余弦定理

辺 $b$ に対する頂点から辺 $b$ を含む直線へ垂線 $h$ を下ろす。角 $\gamma$ を用いると、この垂線の長さは $h = a\sin\gamma$ であり、辺 $b$ の直線と $\gamma$ の頂点から符号付き距離 $a\cos\gamma$ の点で交わるため、もう一方の端点までの線分の長さは $|b - a\cos\gamma|$ となる。二辺が $h$ と $|b - a\cos\gamma|$、斜辺が $c$ の直角三角形にピタゴラスの定理を適用すると、$c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b - a\cos\gamma)^2 = a^2(\sin^2\gamma + \cos^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ が得られる。