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定理証明済み

リウヴィルの定理（ハミルトン力学）

内容

位相空間座標 (q,p)(q, p) を持つハミルトン系が、ハミルトン方程式 q˙=∂H/∂p\dot q = \partial H/\partial p、p˙=−∂H/∂q\dot p = -\partial H/\partial q に従って発展するとし、φt\varphi_t を各位相点を時間 tt だけ進めるフローとする。このとき、位相空間の任意の領域 RR について、φt(R)\varphi_t(R) の体積（標準的なルベーグ測度 dq dpdq\, dp で計算）は、RR の体積とすべての tt について等しい：位相空間の体積はハミルトンフローのもとで保存される。

なぜ正しいのか?

系がとりうる初期状態の集まりが、位相空間内のある塊を埋め尽くしていると想像する。時間が進むにつれ、塊の各点はそれぞれの軌道に沿って動くため、塊は伸び、ねじれ、変形する——しかしリウヴィルの定理は、非圧縮性流体のように、その総体積が決して縮んだり膨らんだりしないと述べる。位置や運動量それぞれの不確かさが個別には増大しうる（塊は薄く引き伸ばされ、広大な領域に広がりうる）としても、塊が占める『位相空間の総量』は決して変わらない。

証明の概略

流れによって運ばれる体積要素の変化率は、その体積要素に流れの速度場の発散を掛けたものに等しい。ハミルトン方程式では速度場は (q˙,p˙)=(∂H/∂p,−∂H/∂q)(\dot q, \dot p) = (\partial H/\partial p, -\partial H/\partial q) であり、その発散は混合偏導関数の等しさにより ∂∂q(∂H∂p)+∂∂p(−∂H∂q)=∂2H∂q ∂p−∂2H∂p ∂q=0\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right) + \frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right) = \frac{\partial^2 H}{\partial q\, \partial p} - \frac{\partial^2 H}{\partial p\, \partial q} = 0 となる。発散がゼロの速度場は、（連続の方程式／位相空間密度に対するリウヴィル方程式を介して）流れが体積を保存するための条件そのものであり、これが定理を証明する。

この定理を使うトピック

ラグランジュ力学とハミルトン力学

関連する定理

ネーターの定理オイラー・ラグランジュ方程式

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. V. I. Arnold (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics
  2. Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics