ラグランジュ力学とハミルトン力学

経路を $q(t)+\epsilon\,\eta(t)$（$\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$）のように摂動し、任意のそのような $\eta$ に対して $\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\big|_{\epsilon=0}=0$ を要求する。$\epsilon$ の1次まで展開し、$\dot\eta$ の項を部分積分すると（境界項は $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ のため消える）、任意の $\eta$ に対して $\int \left(\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k\,dt = 0$ が残り、括弧内が恒等的にゼロでなければならない。

ステップ1（変分の設定）。 $q(t)$ を真の経路とし、小さいパラメータ $\epsilon$ を用いて $q(t)+\epsilon\,\eta(t)$ のように摂動する。ここで $\eta(t)$ は $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ を満たす任意の滑らかな関数であり、摂動された経路が $q(t)$ と同じ端点を持つようにする。ハミルトンの原理は、任意の許容される $\eta$ に対して $\epsilon=0$ で $S[q+\epsilon\eta]$ が停留すること、すなわち $\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\big|_{\epsilon=0}=0$ を要求する。

ステップ2（積分の下で微分する）。 $S[q+\epsilon\eta]=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\epsilon\eta,\dot q+\epsilon\dot\eta,t)\,dt$ を $\epsilon$ について微分し $\epsilon=0$ とおくと、各項に連鎖律を適用して $$\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\Big|_{\epsilon=0}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\eta_k+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\right)dt$$

**ステップ3（$\dot\eta_k$ の項を部分積分する）。** 各 $k$ について、$\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\,dt$ を部分積分すると境界項からバルク項を引いた形になる: $$\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\,dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\eta_k\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k\,dt$$

ステップ4（境界項が消える）。 端点固定条件 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ により $\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\eta_k\right]_{t_1}^{t_2}=0$ となるので、バルク積分だけが残り、ステップ2に代入し戻すと $$\int_{t_1}^{t_2}\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k(t)\,dt=0$$

ステップ5（変分法の基本補題）。 この積分は端点で消える任意の滑らかな $\eta_k$ に対してゼロになる。もし括弧 $\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}$ がある内部点 $t_0$ でゼロでなく連続であれば、$t_0$ の周りの小区間で符号を保つ。その区間に台を持つ滑らかなバンプ関数（括弧が正のところで正、それ以外でゼロ）を $\eta_k$ に選べば積分が真にゼロでなくなり、矛盾する。したがって括弧は恒等的にゼロでなければならず、すべての $k$ について $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ ――オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。

不変性 $L(q(s),\dot q(s),t)=L(q,\dot q,t)$ を $s$ について $s=0$ で微分し、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて $\partial L/\partial q_k$ を $\frac{d}{dt}\left(\partial L/\partial \dot q_k\right)$ に書き換えると、結果は $\frac{d}{dt}\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}=0$ となる: これはまさに $I$ の時間微分がゼロであること、すなわち保存されることを意味する。

ステップ1（不変性の恒等式を微分する）。 変換のもとでの $L$ の不変性は $L(q(s),\dot q(s),t)=L(q,\dot q,t)$ が $s$ について恒等的に成り立つことを意味する。両辺を $s$ について微分し $s=0$ で評価する（$q_k(0)=q_k$ を用いる）と、連鎖律により $$\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial \dot q_k}{\partial s}\right)\bigg|_{s=0}=0$$

ステップ2（実際の軌道上でオイラー・ラグランジュ方程式を用いる）。 $q(t)$ はオイラー・ラグランジュ方程式の解であるから、$\frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}$. これをステップ1の第1項に代入すると、$\partial L/\partial q_k$ が時間の全微分に置き換わる。

**ステップ3（$s$ と $t$ の微分を入れ替える）。** $s$ と $t$ は独立変数なので、$q_k(s,t)$ の混合偏微分は可換である: $\frac{\partial \dot q_k}{\partial s}=\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial s}$. これによりステップ1の第2項も時間の全微分で書き換えられる。

ステップ4（全微分であると認識する）。 両方の項が $\frac{d}{dt}(\cdot)$ から作られたので、積の法則を逆に用いると $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\cdot\frac{\partial q_k}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial s}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\right)$ となる。これをステップ1の恒等式に代入すると、ゼロに等しいひとつの時間の全微分にまとまる: $$\frac{dI}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_k\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\bigg|_{s=0}=0$$

ステップ5（保存を結論する）。 運動方程式のすべての解に沿って時間微分が恒等的にゼロになる量は、その解に沿って一定である。したがって $I=\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\big|_{s=0}$ は保存され、これがネーターの定理である。

位相空間の速度場 $(\dot q,\dot p) = (\partial H/\partial p, -\partial H/\partial q)$ は発散がゼロである: $\sum_k\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial q_k}+\frac{\partial \dot p_k}{\partial p_k}\right) = \sum_k\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_k \partial p_k} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_k \partial q_k}\right)=0$、これは混合偏微分が可換であるためである。発散ゼロの流れは、非圧縮性流体に対する発散定理と同じ理由で体積を保存する。

ステップ1（位相空間の流れ）。 ハミルトン方程式 $(\dot q,\dot p)=\left(\frac{\partial H}{\partial p},-\frac{\partial H}{\partial q}\right)$ は位相空間上の速度場を定める; 各点 $(q,p)$ はこの場に沿って動くので、領域 $\Omega(t_1)$ は流れによって領域 $\Omega(t_2)$ に運ばれる。レイノルズ輸送定理は、囲まれた体積 $V(t)=\int_{\Omega(t)}dq\,dp$ の変化率を発散の流束として与える: $$\frac{d}{dt}V(t)=\int_{\Omega(t)}\nabla\cdot(\dot q,\dot p)\,dq\,dp$$

ステップ2（発散を計算する）。 ハミルトン方程式から直接、$$\sum_k\left(\frac{\partial}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial}{\partial p_k}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)\right)=\sum_k\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_k\partial p_k}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_k\partial q_k}\right)=0$$ となる。これは滑らかな関数 $H$ の混合2階偏微分が可換である（混合偏微分の等式、シュワルツの定理）ためである: $\partial^2H/\partial q_k\partial p_k=\partial^2H/\partial p_k\partial q_k$ なので、2つの項はちょうど打ち消し合う。

ステップ3（発散ゼロが変化率ゼロを強制する）。 ステップ2の結果をステップ1の輸送公式に代入すると、任意の初期領域 $\Omega(t_1)$ の選び方に対して、すべての時刻 $t$ で $$\frac{d}{dt}V(t)=0$$ が得られる。

ステップ4（積分して体積が等しいことを得る）。 導関数が恒等的にゼロである $t$ の関数は定数であるから、すべての $t$ について $V(t)=V(t_1)$ となる: 発展する領域の位相空間体積は決して変化しない。これはまさに主張の通りである。