オイラー・ラグランジュ方程式

変分 $q_\varepsilon(t) = q(t) + \varepsilon\, \eta(t)$（$\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$）を考える。停留性は、$\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0} J[q_\varepsilon] = 0$ が任意のそのような $\eta$ について成り立つことを意味する。積分記号下で微分すると $\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\right) dt = 0$ が得られ、第二項を部分積分すると（境界項は $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ より消える）$\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\eta\, dt = 0$ となる。$\eta$ が任意であることから、変分法の基本補題により括弧内の式は恒等的に消えることが強制され、これがオイラー・ラグランジュ方程式である。