ネーターの定理

内容

ラグランジアン $L(q, \dot q, t)$ で記述される物理系を考える。その作用は $S = \int L\, dt$ であり、座標 $q$ の連続な1パラメータ変換族（連続対称性）のもとで不変であるとする。このとき、オイラー・ラグランジュ方程式のあらゆる解に沿って保存される対応する量 $Q(q, \dot q, t)$ が存在する。すなわち $\dfrac{dQ}{dt} = 0$。

なぜ正しいのか?

物理法則のあらゆる連続対称性は、その内部に保存則を隠し持っている。すべての時計を同じだけ進めても物理法則が変わらないなら（時間並進対称性）エネルギーが保存される。すべての位置を同じベクトルだけずらしても変わらないなら（空間並進対称性）運動量が保存される。系全体を回転させても変わらないなら（回転対称性）角運動量が保存される。ネーターの定理は、『この変換に物理法則は関知しない』を『この量は決して変化しない』に変換する精密な辞書である。

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