ユークリッドの平行線公準

内容

一つの直線が二つの直線と交わり、同じ側の内角の和が二直角より小さい（$\alpha + \beta < 180^\circ$）ならば、この二つの直線は限りなく延長するときその側で交わる。同値な表現（プレイフェアの公理）として、平面上で直線 $\ell$ と $\ell$ 上にない点 $P$ が与えられたとき、$P$ を通り $\ell$ に平行な直線は高々一本しか存在しない。

なぜ正しいのか?

ユークリッドの最初の四つの公準は、線分を引く、直線を延ばす、円を描く、直角を比べるといった有界な領域内で確かめられる局所的な作図を述べているのに対し、第五公準は $\alpha + \beta < 180^\circ$ を満たす二直線がどれほど遠くへ行ってもいずれ交わるかという大域的な主張をしている。負の曲率をもつ鞍型の曲面（双曲平面）では測地線が急速に離れていくため、点 $P$ を通り直線 $\ell$ と決して交わらない直線が無数に存在し、無限遠での平坦さは局所的な規則からの論理的帰結ではなく幾何学の独立な選択であることがわかる。

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