非ユークリッド幾何学

有界な平面の一部について自明であるユークリッドの他の4つの公準とは異なり、第五公準は限りなく延長された直線について語る——これは図を描いて確かめることのできない、無限に関する主張である。そのため、これは公理というよりも他の公理から証明されるべき定理のように感じられ、その探求は二千年にわたって数学者たちを占めることになった。

ステップ 1 — ユークリッドの第五公準からプレイフェアの公理を導く。 直線 $\ell$ と外部の点 $P \notin \ell$ をとる。$P$ から $\ell$ へ垂線 $t$ を下ろし、$P$ を通り $t$ に垂直な直線 $m$ を引く。錯角が等しいことから $m$ は $\ell$ に平行である。$P$ を通る他の任意の直線は $t$ との片側の内角の和が $\alpha + \beta < \pi$ を満たすため、ユークリッドの第五公準により必ず $\ell$ と交わる。よって $m$ は $P$ を通るただ一つの平行線である。

ステップ 2 — プレイフェアの公理からユークリッド三角形の内角の和を導く。 三角形 $\triangle ABC$ に対し、頂点 $A$ を通り辺 $BC$ に平行な唯一の直線 $m$ を引く。横断線 $AB$ と $AC$ による錯角から $\angle B$ と $\angle C$ は直線 $m$ 上で $\angle A$ の隣に移され、$\alpha + \beta = \pi$ より $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$ が得られる。

紙(平ら、$K=0$)は伸ばすことなく円柱状に丸めることができ、円柱も内在的には $K=0$ のままである——その上に住む虫は、曲面内でしか測定しなくても、外から見れば円柱が曲がって見えるにもかかわらず、通常のユークリッド幾何学を見出すだろう。しかし、どんな平らな紙も、伸ばしたりしわを寄せたりせずに球面($K>0$)に巻きつけることはできない——これこそ、地球の平面地図がすべて何かを歪めてしまう理由である。ガウスはこれを1827年に、第一基本形式のみから構成される $K$ の公式を用いて証明した。したがってこの公式は、その曲面が空間の中でどのように置かれているかを一切参照しない。

ステップ 1 — 基本形式を用いて外在的公式を書く。 $\mathbb{R}^3$ 内の滑らかな曲面 $\mathbf{x}(u,v)$ は第一基本形式 $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ と第二基本形式 $II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$ を持つ。形状作用素の行列式はガウス曲率 $K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$ に等しい。

ステップ 2 — ガウスの方程式により法線ベクトルを消去する。 ガウスの標構方程式を微分し、3階混合偏導関数の相等 $\mathbf{x}_{uuv} = \mathbf{x}_{uvu}$ を課すことで、分子 $LN - M^2$ は計量係数 $E, F, G$ とその1階・2階偏導関数（クリストッフェル記号）のみで表される。

ステップ 3 — 内在的な直交座標公式を導く。 直交座標（$F = 0$）では、整合条件は直接 $K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)$ に簡約される。この式は $E, F, G$ のみに依存するため、$I$ を保つ任意の局所等長変換は自動的に $K$ を保つ。

これは、冒頭のアリと三角形の話の、正確で定量的なバージョンである:角の超過(または不足)は曲率の兆候であるだけでなく、囲まれた全曲率に等しい。これは数学における最も深い架け橋の一つであり、幾何学(曲率、滑らかで局所的な計量概念)を位相幾何学(オイラー標数、離散的で大域的、純粋に組合せ論的な概念)と結びつける——球面($\chi=2$)はどのように曲げられても正の全曲率を持たねばならず、トーラス($\chi=0$)は局所的にどう曲がっていても平均の全曲率がゼロでなければならない。

ステップ 1 — 測地線三角形上の局所公式を証明する。 境界 $\partial T$ をなす3本の測地線弧で囲まれた測地線三角形を $T$ とする。$\partial T$ に沿う正規直交標構では各辺上の測地線曲率は0であり、3頂点での外角の和は $(\pi - \alpha) + (\pi - \beta) + (\pi - \gamma) = 3\pi - (\alpha + \beta + \gamma)$ となる。$\partial T$ の周りで接続形式にグリーンの定理を適用すると、全回転角 $2\pi$ から外角の和を引いたものが曲率積分に等しくなり、$\iint_T K\,dA = \alpha + \beta + \gamma - \pi$ が得られる。

ステップ 2 — 閉曲面の測地線三角形分割にわたって和をとる。 閉曲面 $M$ を $F$ 個の測地線三角形、$E$ 本の辺、$V$ 個の頂点に三角形分割する。各三角形は3辺を持ち各辺は2つの三角形に共有されるため $3F = 2E$ が成り立つ。すべての三角形について局所公式の和をとり、$V$ 個の各頂点の周りの角の和が $2\pi$ であることを用いると $\iint_M K\,dA = \sum_{i=1}^F (\alpha_i + \beta_i + \gamma_i - \pi) = 2\pi V - \pi F$ となる。辺と面の関係を代入すれば $\iint_M K\,dA = 2\pi(V - E + F) = 2\pi \chi(M)$ が得られる。