ガウスの驚異の定理（Theorema Egregium）

内容

滑らかな曲面 $S \subset \mathbb{R}^3$ のガウス曲率 $K = \kappa_1 \kappa_2$（主曲率 $\kappa_1$ と $\kappa_2$ の積）は内在的不変量である。すなわち、第一基本形式 $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ とその一階および二階の偏導関数のみに依存し、したがってすべての局所等長変換によって保たれる。

なぜ正しいのか?

個々の主曲率 $\kappa_1$ と $\kappa_2$ は周囲の空間 $\mathbb{R}^3$ の中で曲面がどう曲がっているかを表しており、平らな紙（$\kappa_1 = 0, \kappa_2 = 0$）を伸ばしたり破いたりせずに半径 $r$ の円柱に丸めると、それらは $\kappa_1 = 1/r$ と $\kappa_2 = 0$ に変化する。しかしその積 $K = \kappa_1 \kappa_2$ は $0$ のままであるのに対し、半径 $r$ の球面は $K = 1/r^2 > 0$ をもち、距離を歪めずに平面へ広げることは決してできない。曲面内の長さと角度だけを測る二次元の住人は、外側の空間 $\mathbb{R}^3$ を見ることなく $K$ を検出できる。

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